自动机理论中依赖于集合论模型的一些问题

我们证明，关于读取无穷词的自动机的一些相当基本的问题依赖于公理系统 ZFC 的模型。已知，由 Büchi 单计数器自动机 $A$ 接受的 $\omega$-语言 $L(A)$ 的补集的基数只有三种可能性。我们证明了以下令人惊讶的结果：存在一个单计数器 Büchi 自动机 $A$，使得 $\omega$-语言 $L(A)$ 的补集 $L(A)^-$ 的基数不由 ZFC 确定：(1) 存在 ZFC 的一个模型 $V_1$，其中 $L(A)^-$ 是可数的。(2) 存在 ZFC 的一个模型 $V_2$，其中 $L(A)^-$ 的基数为 $2^{\aleph_0}$。(3) 存在 ZFC 的一个模型 $V_3$，其中 $L(A)^-$ 的基数为 $\aleph_1$，且 $\aleph_0<\aleph_1<2^{\aleph_0}$。对于由双带 Büchi 自动机 $B$ 接受的无穷理性关系的补集，我们证明了非常类似的结果。作为推论，这证明了连续统假设对于单计数器 $\omega$-语言的补集以及由双带 Büchi 自动机接受的无穷理性关系的补集可能不成立。从上述结果的证明中我们推断，关于单计数器 $\omega$-语言或无穷理性关系的基本判定问题实际上位于分析层次的第三层。特别地，判断单计数器 $\omega$-语言（或无穷理性关系）的补集是否可数的问题属于 $\Sigma_3^1 \setminus (\Pi_2^1 \cup \Sigma_2^1)$。这与无穷理性关系是否可数（或不可数）是可判定的这一事实相比，相当令人惊讶。