一些具有麦克环条件的新环类

我们在此定义弱可逆环的概念，称非零元素 $a\in R$ 为弱可逆，若存在整数 $m>0$ 使得 $a^m\neq 0$ 为可逆，即 $r_R(a^m)=l_R(a^m)$。若 $R$ 中所有元素均为弱可逆，则称 $R$ 为弱可逆环。我们证明所有弱可逆环都是阿贝尔麦克环，从而是阿贝尔2-原始环。此外，我们构造了一个非可逆的弱可逆环。我们还表明，若 $R$ 为弱可逆环，则多项式环 $R[x]$ 为强AB环。特别地，弱可逆环 $R$ 当且仅当 $R[x]$ 为zip环时，$R$ 才为zip环。进一步地，若 $R$ 为弱可逆环且其每个素理想都是最大理想，则 $R$ 和 $R[x]$ 均为AB环。