螺线管映射、自动序列、Van Der Put 级数与 Mealy-Moore 自动机

d 进整数环 $\mathbb Z_d$ 可自然解释为有根 d 叉树 $T_d$ 的边界。该树的端射（即螺线管映射）与从 $\mathbb Z_d$ 到自身的 1-Lipschitz 映射一一对应，而 $T_d$ 的自同构构成群 $\mathrm{Isom}(\mathbb Z_d)$。当 $d=p$ 为素数时，Anashin 证明了 $f\in\mathrm{Lip}^1(\mathbb Z_p)$ 由有限 Mealy 自动机定义当且仅当其 van der Put 级数的归约系数构成 $\mathbb Z_p\cap\mathbb Q$ 有限子集上的 p-自动序列。我们将此结果推广到任意整数 $d\geq 2$，并描述了生成该序列的 Moore 自动机与诱导相应端射的 Mealy 自动机之间的显式联系。在此过程中，我们给出了两种算法，可在端射的 Mealy 自动机与生成 $\mathbb Z_d$ 上诱导映射的归约 van der Put 系数序列的相应 Moore 自动机之间相互转换。我们以系数序列为 Thue-Morse 序列以及灯夫人群标准自动机表示的一个生成元为例展示了这些算法的应用。