从假设检验视角研究软覆盖现象

我们通过 Neyman-Pearson 假设检验的视角研究软覆盖现象：给定信道输出序列 $y^n$，是否存在可能通过该信道随机译码码字产生，或独立于输出边缘分布生成？我们推导了联合平均化的假阳性（false-alarm, FA）概率 $\alpha_n(\tau,R)$ 和漏报（missed-detection, MD）概率 $\beta_n(\tau,R)$ 的精确指数衰减率，这些衰减率是作为决策阈值 $\tau$ 和码本速率 $R$ 的函数。所推导的单字母公式 $\EFA(\tau,R)=-\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}\ln\alpha_n(\tau,R)$ 和 $\EMD(\tau,R)=-\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}\ln\beta_n(\tau,R)$ 在随机编码意义下紧凑。分析揭示了丰富的相位结构。当 $R < I(X;Y)$ 时，两种错误类型在区间 $\tau \in (0, I(X;Y)-R)$ 之间存在真实的指数权衡。在 $R = I(X;Y)$ 时，权衡区间坍缩为单点 $\tau = 0$，此时两种误差指数同时消失，这一事实在 Neyman-Pearson 意义下表现了软覆盖现象。在 $R > I(X;Y)$ 时，同样的即时坍缩仍在 $\tau = 0$ 处持续；此外，对于每个 $\tau$ 至少有一个指数为零：当 $\tau \le 0$ 时，FA 指数为零（FA 概率不随 $n$ 指数衰减），当 $\tau \ge 0$ 时，MD 指数为零（且有限、信道相关，见 Remark~\ref{rem:jump}）。不存在 $\tau$ 的区间使得两种指数同时为正。MD 指数在 $\tau^* = [I(X;Y)-R]_+$ 处出现尖锐相位转变。