SLE 作为布朗环簇边界的研究

在本研究通告中，我们证明 SLE 曲线事实上可视为某些简单泊松渗流簇的边界：回顾布朗环汤（在与人 Greg Lawler 合作的论文 arxiv:math.PR/0304419 中引入）以强度 c 定义了一个域中（若仅关注外边界则为简单的）环的泊松族。这一随机（可能相交的）环族是共形不变的（且几乎必然在任何样本中都有无穷多个小环）。我们证明存在临界值 a ∈ (0,1]，使得若将所有环的内部着色，当 c<a 时所得簇有界，而当 c>a 时单个簇填满整个域。我们证明对于小的 c，簇的外边界是 SLE 型曲线，其中 $\kappa \le 4$ 且 c 由通常关系 $c=(3\kappa-8)(6-\kappa)/2\kappa$ 相联系（即 c 对应于模型的中心电荷）。推测临界值 a 等于 1 且对应于 SLE4 环，从而应对任意 c ∈ (0,1] 给出自然可数随机不相交 SLE$_,\kappa$ 环族（即 $\kappa$ 应跨越 $(8/3,4]$）的构造，该环族在域的扰动下表现“良好”。弦状 SLE 与环汤之间的精确关系如下：考虑域中某限制测度（即某布朗游动的并）的样本，将与之相交的所有上述簇附于其上。若限制测度指数等于对应以中心电荷 c 表示的最高权，则所得集合的外边界恰为 SLE$_,\kappa$。