单纯空间、弱代数与 2-Segal 条件

Dyckerhoff--Kapranov 以及 G\'alvez-Carrillo--Kock--Tonks 独立引入了$2$-Segal 空间的概念，即满足 Segal 条件的二维类比的一种单纯空间，以此作为理解代数几何、表示论和组合学中出现的众多 Hall 代数类构造的统一框架。特别是，他们证明了每个$2$-Segal 对象在$\infty$-范畴的 spans 中定义了一个代数对象。在本文中，我们表明这种代数结构继承自初始单纯对象$\Delta[\bullet]$。具体而言，我们证明了标准$1$-单纯形$\Delta[1]$携带一个弱代数（lax algebra）结构。作为一个形式推论，单纯空间的$1$-单纯形空间也是一个弱代数。我们进一步证明了$2$-Segal 条件等价于该弱代数的结合性。