随机正则图上的简单与非简单环

在本注记中，我们解决了随机正则图上环的“生日问题”。即，对固定的 $d\ge 3$，我们证明在具有 $n$ 个顶点的随机 $d$-正则图上，当 $n$ 趋于无穷时，以高概率有：(i) 长度 $k \prec \sqrt{n}$ 的几乎所有本原非回退环均为简单的，即不自交；(ii) 长度 $k \succ \sqrt{n}$ 的几乎所有本原非回退环均自交。