Gibbs 分布的分区比简单并行估计

我们考虑估计 Gibbs 分布的配分函数 $Z(\beta)=\sum_x \exp(\beta(H(x))$ 的问题，其中哈密顿量 $H:\Omega\rightarrow\{0\}\cup[1,n]$。如 [Harris & Kolmogorov 2024] 所示，对数比 $q=\ln (Z(\beta_{\max})/Z(\beta_{\min}))$ 可以通过 $O(\frac{q \log n}{\epsilon^2})$ 次调用从 Gibbs 分布中产生样本的预言机来估计，参数 $\beta\in[\beta_{\min},\beta_{\max}]$。该算法本质上是串行的，或称自适应的：所查询的 $\beta$ 值依赖于先前的样本。最近，[Liu, Yin & Zhang 2024] 开发了非自适应版本，需要 $O( q (\log^2 n) (\log q + \log \log n + \epsilon^{-2}) )$ 个样本。我们将样本数改进为 $O(\frac{q \log^2 n}{\epsilon^2})$（非自适应算法）和 $O(\frac{q \log n}{\epsilon^2})$（仅使用两轮自适应的算法，与串行版本的复杂度匹配）。此外，我们的算法简化了先前技术。具体而言，我们仅使用单个估计器，而 [Harris & Kolmogorov 2024, Liu, Yin & Zhang 2024] 中的方法在不同区间使用两种不同的估计器。