线性深度 t-设计与伪随机酉的简单构造

均匀随机酉，即从 Haar 测度中抽取的酉，具有许多有用的性质，但无法被高效实现。这促使了一系列长期研究，旨在构造“看起来”足够 Haar 随机且实现高效的随机酉。出现了两种不同的去随机化概念：$t$-设计是在信息论意义上重现 Haar 测度前 $t$ 个矩的随机酉，而伪随机酉（PRUs）是在计算上与 Haar 随机不可区分的随机酉。在本工作中，我们采用统一的方法来构造 $t$-设计和 PRUs。为此，我们引入并分析了“$PFC$ 集合”，即随机计算基置换 $P$、随机二元相位算子 $F$ 与随机 Clifford 酉 $C$ 的乘积。我们证明该集合能重现 Haar 测度的指数级高阶矩。随后，我们可以对 $PFC$ 集合进行去随机化以证明以下结论：(1) 线性深度 $t$-设计。我们首次构造了电路深度关于 $t$ 呈线性的（菱形误差）近似 $t$-设计。这是通过将 $PFC$ 集合中的随机相位和置换算子替换为其 $2t$-独立对应物得到的。(2) 非自适应 PRUs。我们首次构造了具有非自适应安全性的 PRUs，即我们构造的酉对于在任意状态上并行查询该酉的多项式时间区分者而言，与 Haar 随机不可区分。这是通过将 $PFC$ 集合中的随机相位和置换算子替换为其伪随机对应物得到的。(3) 自适应伪随机等距。我们证明，如果考虑从 $n$ 个量子比特到 $n + \omega(\log n)$ 个量子比特的等距（而非酉），对我们的 PRU 构造进行微小修改即可实现一般的自适应安全性。