符号完整随机投影

1-bit（“符号-符号”）随机投影方法已成为大型数据集高效搜索与机器学习的常用工具。给定两个 $D$ 维数据向量 $u$, $v\in\mathbb{R}^D$，可生成 $x = \sum_{i=1}^D u_i r_i$ 和 $y = \sum_{i=1}^D v_i r_i$，其中 $r_i\sim N(0,1)$ 独立同分布。“碰撞概率”为 ${Pr}\left(sgn(x)=sgn(y)\right) = 1-\frac{\cos^{-1}\rho}{\pi}$，其中 $\rho = \rho(u,v)$ 为余弦相似度。我们通过从（例如）期望 $E(sgn(x)y)=\sqrt{\frac{2}{\pi}} \rho$ 估计 $\rho$ 来发展“符号完整”随机投影，并通过归一化 $y$ 可进一步大幅改进。对于非负数据，我们推荐一个基于 $E\left(y_- 1_{x\geq 0} + y_+ 1_{x<0}\right)$ 及其归一化版本的有趣估计量。该推荐估计量几乎匹配（计算昂贵的）最大似然估计量的精度。在高相似度（$\rho\rightarrow1$）下，推荐估计量的渐近方差仅为符号-符号投影估计量的 $\frac{4}{3\pi} \approx 0.4$。在小的 $k$ 和高相似度下，改进甚至更为显著。