一个$\aleph_0$-范畴关系结构的兄弟结构

关系结构$R$的兄弟结构是指任何可嵌入$R$且反之$R$也可嵌入其中的结构$S$。令$sib(R)$为$R$的兄弟结构数目，这些兄弟结构在同构意义下计数。Thomassé猜想，对于由至多可数多个关系构成的 countable 关系结构，$sib(R)$要么为$1$，要么可数无穷，要么为连续统的势；但即使证明特例$sib(R)=1$或无穷，当$R$是一棵可数树时仍未解决。这与Bonato-Tardif猜想相关，该猜想断言对每棵树$T$，与$T$为兄弟结构的树的数目要么为一要么无穷。我们证明，若$R$是可数且$\aleph_{0}$-范畴的，则确有$sib(R)$为一或无穷。进而，$sib(R)$为一当且仅当$R$在Hodkinson和Macpherson意义下是可有限划分的。我们证明中的关键工具是Pouzet和Thi\'ery 2013年论文引入、Oudrar和Pouzet 2015年进一步研究的关系统构的单态分解概念，以及Frasnay 1984年的一个结果。