基于 VC 维与 Rademacher 平均的最短路径中心性及 APSP 问题

在本文中，我们关注全点对最短路径问题（APSP）的一个版本，它既不属于精确情形也不属于近似情形。我们定义了一种最短路径中心性的度量，与图中此类最短路径的“重要性”相关，并提出了一种基于渐进采样思想的算法：对于{\it 任意固定常数} $0 < \epsilon$、$\delta < 1$，给定具有非负边权的无向图 $G$，该算法以 $1 - \delta$ 的概率输出一个大小为 $n \cdot \textrm{Diam}_V(G)$ 的数据结构（其中 $\textrm{Diam}_V(G)$ 为 $G$ 的顶点直径），其期望时间为 $\mathcal{O}(\lg n \max(m + n \log n, n \cdot \textrm{Diam}_V(G)))$，其中包含中心性至少为 $\epsilon$ 的每对顶点 $(u,v)$ 之间的（精确）距离与最短路径。渐进采样技术对输入的概率分布敏感（若假设 $G$ 按给定的随机分布选取），但即使在我们对这种分布不作任何假设的情况下，我们利用 VC 维理论给出了比标准 Hoeffding 界与并集界更紧的样本量上界，因为 VC 维理论捕捉了输入图的组合结构。