基于图分解的最短啤酒路径查询

给定一个有向边加权图 $G=(V, E)$ 及啤酒顶点 $B\subseteq V$，两个顶点 $u$ 和 $v$ 之间的啤酒路径是 $u$ 与 $v$ 之间至少访问 $B$ 中一个啤酒顶点的路径，两顶点间的啤酒距离即为啤酒路径的最短长度。我们考虑关于啤酒路径的\emph{索引问题}，即事先给定图并为其构建某些数据结构（称为索引）。之后给定两个顶点，利用该数据结构求出它们之间的啤酒距离或啤酒路径。针对此类方案，已有基于索引的外平面图和区间图啤酒距离与啤酒路径查询的高效算法。例如，Bacic 等人（2021）给出了外平面图的大小为 $O(n)$ 的索引，以及使用它们在 $O(\alpha(n))$ 时间内回答给定两顶点间啤酒距离的算法，其中 $\alpha(\cdot)$ 为反阿克曼函数；该性能被证明是最优的。本文基于两类图分解：树分解和三叉连通分量分解，提出了面向一般图上啤酒路径查询的索引数据结构与算法。我们基于三叉连通分量分解提出了大小为 $O(m+nr^2)$ 的索引，其中 $r$ 为最大三叉连通分量的大小。对于给定查询 $u,v\in V$，我们使用索引的算法可在查询时间 $O(\alpha(m))$ 内输出啤酒距离。特别地，我们的索引数据结构与算法在串并行图（比外平面图更广的一类图）上达到了最优性能（空间与查询时间）。