外平面图中最短啤酒路径查询

一个 \emph{啤酒图} 是无向图 $G$，其中每条边具有正权值且某些顶点设有啤酒店。 $G$ 中两顶点 $u$ 与 $v$ 之间的 \emph{啤酒路径} 是 $G$ 中连接 $u$ 与 $v$ 并至少访问一个啤酒店的任何路径。我们证明，任意具有 $n$ 个顶点的外平面啤酒图 $G$ 可在 $O(n)$ 时间内预处理为大小为 $O(n)$ 的数据结构，使得对任意两个查询顶点 $u$ 与 $v$，（i） $u$ 与 $v$ 之间最短啤酒路径的权值可在 $O(\alpha(n))$ 时间内报告（其中 $\alpha(n)$ 为反阿克曼函数），且（ii） $u$ 与 $v$ 之间最短啤酒路径可在 $O(L)$ 时间内报告，其中 $L$ 为该路径上的顶点数。即便 $G$ 是一棵啤酒树（即底层图为树之啤酒图），两项结果均为最优。