植入子图推断中的尖锐阈值

Erd\H{o}s--R\'enyi 随机图研究中的一个主要问题是理解其包含给定子图的概率。该研究源于 Erd\H{o}s 和 R\'enyi（1960）的经典工作。更近期的工作一方面致力于建立尖锐与粗糙转变的一般理论（Friedgut 和 Bourgain 1999；Hatami 2012），另一方面关注转变位置的结果（Kahn 和 Kalai 2007；Talagrand 2010；Frankston、Kahn、Narayanan、Park 2019；Park 和 Pham 2022）。在推断问题中，人们常研究最优推断精度随噪声量的函数关系。在多种稀疏恢复问题中，观测到了“全有或全无（AoN）现象”：直观地说，随着噪声量逐渐增加，在某个临界阈值处推断问题从近乎完美恢复急剧跳跃至近乎零精度（Gamarnik 和 Zadik 2017；Reeves、Xu、Zadik 2021）。我们可以将 AoN 视为随机图中尖锐阈值现象自然的推断类比。与针对随机图性质尖锐阈值所发展的一般理论不同，AoN 现象迄今仅在特定推断设定中被研究。本文研究在 Erd\H{o}s--R\'enyi 随机图中植入图 $H=H_n$ 的推断一般问题，从而自然连接上述两条研究脉络。我们表明 AoN 问题与一阶矩阈值以及所谓 Kahn--Kalai 期望阈值的推广密切相关，该推广扫描 $H$ 中边密度至少为 $q$ 的子图。在多种设定下我们刻画了 AoN：证明 AoN 发生当且仅当该“广义期望阈值”在 $q$ 上大致为常数。我们的证明结合了随机图论与贝叶斯推断的技术。