球形 Banach 函数空间中高阶梯度的尖锐 Brezis--Seeger--Van Schaftingen--Yung 公式

设 $X$ 为 $\mathbb{R}^n$ 上的球形 Banach 函数空间，$k\in\mathbb{N}$，$h\in\mathbb{R}^n$，记 $k$ 次差分为 $\Delta^k_h$。本文在对 $X$ 施加一些温和的额外假设后，证明对于与 $X$ 相关的两个参数 $q$ 和 $\gamma$ 的**尖锐**范围内的任意局部可积函数 $f$ 满足 $|\nabla^k f|\in X$，都有\n\n$$\sup_{\lambda\in(0,\infty)}\lambda \left\|\left[\int_{\{h\in\mathbb{R}^n:\ |\Delta_h^k f(\cdot)|>\lambda|h|^{k+\frac{\gamma}{q}}\}} |h|^{\gamma-n}\,dh\right]^\frac{1}{q}\right\|_X \sim \|\,|\nabla^k f|\,\|_X$$\n\n其中等号常数与 $f$ 无关。作为应用，我们建立了高阶齐次球形 Banach Sobolev 空间的 BSVY 表征以及临界情形下的高阶分数 Gagliardo--Nirenberg 和 Sobolev 不等式。所有这些结果具有很大的普适性，可用于各种具体函数空间；此外，当 $X:= L^{q}$ 且 $k=1$ 时，这些结果与已知最佳结果一致，而当 $k\ge 2$ 时则是全新的。本文的第一个新颖之处在于建立了与高阶局部逼近相关的粗略 dyadic 立方体水平集的稀疏表征，这与近似理论中的著名 Whitney 不等式相结合，进一步诱导出高阶加权变体的著名不等式（由 A. Cohen、W. Dahmen、I. Daubechies 和 R. DeVore 证明）；第二个新颖之处在于将这个加权不等式巧妙地与高阶 Poincaré 不等式相结合，以建立 BSVY 公式在加权 Lebesgue 空间中的上估计。