负曲率群中沿几乎测地线的 Shannon-McMillan-Breiman 定理

考虑一个非初等 Gromov 双曲群 $\Gamma$，带有合适的不变双曲度量，以及其在 $(X,\mu)$ 上的保概率测度遍历(p.m.p.)作用。我们构造特殊的有限子集递增序列 $F_n(y)\subset \Gamma$，其中 $(Y,\nu)$ 是合适的概率空间，具有如下性质：给定 $X$ 的任意有限 Shannon 熵可数划分 $\mathcal{P}$，细化划分 $\bigvee_{\gamma\in F_n(y)}\gamma \mathcal{P}$ 的归一化信息函数收敛于常数极限，对 $\mu$-几乎处处的 $x\in X$ 与 $\nu$-几乎处处的 $y\in Y$ 成立；集合 $\mathcal{F}_n(y)$ 构成几乎测地线段，且 $\bigcup_{n\in \mathbb{N}} F_n(y)$ 是以恒等元固定有界距离出发、极限点 $F^+(y)\in \partial \Gamma$ 的单侧几乎测地线，对几乎处处 $y\in Y$ 成立；极限点 $F^+(y)$ 的分布属于与该不变双曲度量相关的 $\partial \Gamma$ 上 Patterson-Sullivan 测度类。因此，本文主要结果等价于在上述任意 $\Gamma$ 的 p.m.p. 作用中沿几乎测地线段的 Shannon-McMillan-Breiman 定理。对我们分析的若干重要例子类， $F_n(y)$ 的构造是纯几何且显式的。进一步，考虑归一化信息函数极限对所有 $\Gamma$-生成划分取下确界。利用 B. Seward 的一个重要不等式，我们推得它等于 $\Gamma$ 在 $(X,\mu)$ 上作用的 Rokhlin 熵 $\frak{h}^{\text{Rok}}$（若该作用自由）。