由 $\Delta(27)$ 与 $U(1)_\chi$ 给出的 Scotogenic 共双极大 Dirac 中微子混合

在 $SU(3)_C \times SU(2)_L \times U(1)_Y \times U(1)_\chi$ 框架下（其中 $U(1)_\chi$ 来自 $SO(10) \to SU(5) \times U(1)_\chi$），并辅以针对三个轻子族的 non-Abelian 离散 $\Delta(27)$ 对称性，Dirac 中微子质量及其混合通过暗物质辐射生成。规范 $U(1)_\chi$ 对称性自发破缺。离散 $\Delta(27)$ 对称性被软破缺且自发破缺。二者共同导致两个剩余对称性：整体 $U(1)_L$ 轻子数与一个暗对称性，后者根据破缺 $U(1)_\chi$ 的标量可为 $Z_2$、$Z_3$ 或 $U(1)_D$。也可获得共双极大（cobimaximal）中微子混合，即 $\theta_{13} \neq 0$、$\theta_{23} = \pi/4$ 且 $\delta_{CP} = \pm \pi/2$。