局部化一致性动力学中的尺度脆弱性

我们考虑网络中的分布式一致性，其中智能体具有二阶或更高阶（$n\ge 2$）的积分器动力学。我们假设所有反馈都是局部化的，即每个智能体具有有限数量的邻居，并考虑通过以模块化方式添加智能体来扩展网络，即在添加时不重新调整控制器增益。我们表明，依赖于相对状态反馈的标准一致性算法受到我们称之为尺度脆弱性的影响，这意味着随着网络规模的扩大，稳定性会丧失。对于高阶智能体（$n\ge 3$），我们证明了没有任何具有固定增益的一致性算法能在任意大小的网络中实现一致性。也就是说，虽然给定的算法可能允许小型网络收敛，但如果网络增长超过某个有限大小，它会导致不稳定性。这适用于代数连通性（即最小的非零拉普拉斯特征值）随网络规模减小而趋于零的网络图族（例如所有平面图）。对于二阶一致性（$n = 2$），我们证明了同样的尺度脆弱性适用于具有接近原点的复拉普拉斯特征值的有向图（例如有向环图）。这两个结果的证明都依赖于复值多项式的 Routh-Hurwitz 判据，并且适用于一般的有向网络图。我们调查了受这些尺度脆弱性影响的图类，讨论了它们的缩放常数，最后证明了节点邻域的次线性缩放足以克服这一问题。