尖点形式的标量值深度二 Eichler-Shimura 积分

给定整数权重 $k \geq 2$ 的尖点形式 $f$ 和 $g$，深度二全纯迭代 Eichler-Shimura 积分 $I_{f,g}$ 定义为 ${\int_\tau^{i\infty}f(z)(X-z)^{k-2}I_g(z;Y)\mathrm{d}z}$，其中 $I_g$ 是 $g$ 的 Eichler 积分，$X,Y$ 为形式变量。我们给出一个显式的向量值模形式，其顶层分量由 $I_{f,g}$ 给出。我们证明该向量值模形式产生一个深度二的标量值迭代 Eichler 积分，记为 $\mathcal{E}_{f,g}$，可视为深度一的标量值 Eichler 积分 $\mathcal{E}_f$ 的高阶深度推广。顺便指出，我们的论证对 Pa\c{s}ol-Popa 最初给出的周期多项式所满足的正交关系提供了另一种解释。我们证明 $\mathcal{E}_{f,g}$ 在乘以判别式模形式 $\Delta$ 的适当幂次后，可用向量值 Eisenstein 级数的分量与经典模形式的乘积之和表示。这使得 $\mathcal{E}_{f,g}$ 可有效计算。