面向局部平移不变算子的可扩展无矩阵自适应乘积-卷积逼近

我们提出了一种基于卷积算子的“乘积-卷积”插值的自适应网格无矩阵算子逼近方案。该方案适用于局部平移不变的算子，即使这些算子是满秩或高秩的。此类算子出现在求解偏微分方程（PDE）的 Schur 补方法中，作为 PDE 约束优化和逆问题中的 Hessian、作为积分算子、作为协方差算子以及作为 Dirichlet-to-Neumann 映射。构造逼近需要计算算子对以自适应细化样本点网格中节点为中心的点源的脉冲响应。随机后验误差估计器驱动自适应。一旦构造完成，该逼近可使用快速傅里叶变换高效地作用于向量。该逼近可高效转换为分层矩阵（$H$-矩阵）格式，随后利用可扩展的 $H$-矩阵算术进行求逆或分解。当使用更少样本点时，逼近质量优雅退化，允许将廉价低质量逼近用作预条件子。这产生了一种自动构造局部平移不变 Schur 补预条件子的方法。我们直接处理与边界相关的问题，并证明我们的方案消除了边界伪影。我们在空间变化模糊核、Poisson 算子的界面 Schur 补非局部分量以及对流占优对流-扩散逆问题的数据失配 Hessian 上测试了该方案。数值结果表明该方案优于现有方法。