存在公平性、拟阵和全局约束下的可满足性到覆盖问题

在带基数约束的 MaxSAT 问题（CC-MaxSAT）中，给定一个 CNF 公式 $\Phi$ 和 $k \ge 0$，目标是找到一个赋值 $\beta$，其中至多有 $k$ 个变量设为真（也称为权重 $k$ 赋值），使得被 $\beta$ 满足的子句数量最大化。MaxCov 可视为 CC-MaxSAT 的一个特例，其中公式 $\Phi$ 是单调的，即不包含任何负文字。CC-MaxSAT 和 MaxCov 是近似算法以及参数化复杂性文献中研究极为深入的问题。我们的第一个贡献是，在由 $k$ 参数化的 FPT-近似背景下（近似程度以满足的子句数量/覆盖的元素数量衡量），这两个问题是等价的。我们给出了一个从 CC-MaxSAT 到 MaxCov 的随机归约，时间为 $O(1/\epsilon)^{k} \cdot (m+n)^{O(1)}$，该归约将近似保证保持在 $1-\epsilon$ 因子内。此外，该归约在存在公平性和拟阵约束的情况下也适用。借助这一归约，我们专注于为 MaxCov 及其推广设计 FPT-近似方案（FPT-ASes）。我们的算法基于多种思想的创新组合，包括一种精心设计的概率分布，该分布利用了稀疏覆盖函数。这些算法实质性地推广了 Jain 等人 [SODA 2023] 针对 $K_{d,d}$-自由集系（即没有 $d$ 个集合共享 $d$ 个元素）的 CC-MaxSAT 和 MaxCov 的结果，以及 Sellier [ESA 2023] 针对频率 -$d$ 集系的最近提出的拟阵约束 MaxCov 的 FPT-AS。