无双团最大 $k$-权重 SAT 的改进 FPT 逼近格式与近似核：贪心反击

在 Max $k$-Weight SAT（又称带基数约束的 Max SAT）问题中，给定一个具有 $n$ 个变量和 $m$ 个子句的 CNF 公式以及一个正整数 $k$。目标是找到一个至多将 $k$ 个变量赋值为 1 且满足尽可能多约束的赋值。最近，Jain 等人 [SODA'23] 给出了当关联图为 $K_{d,d}$-free 时 Max $k$-Weight SAT 的一个 FPT 逼近格式 (FPT-AS)，其运行时间为 $2^{O\left(\left(dk/\epsilon\right)^d\right)} \cdot (n + m)^{O(1)}$。他们询问是否存在多项式规模的近似核。在本工作中，我们通过给出一个具有 $\left(\frac{d k}{\epsilon}\right)^{O(d)}$ 个变量的 $(1 - \epsilon)$-近似核，对这个问题给出了肯定的回答。这也蕴含了一个改进的 FPT-AS，其运行时间为 $(dk/\epsilon)^{O(dk)} \cdot (n + m)^{O(1)}$。我们的近似核主要基于几个贪心策略以及向日葵引理风格的归约规则。