多项式时间问题可近似性的结构研究

我们启动了对最近引入的MaxSNP多项式时间类比的系统研究,其包含大量被充分研究的问题(包括汉明度量下的最近邻与最远邻、最大内积、k-XOR与最大k-覆盖的优化变体)。具体而言,MaxSP$_k$表示形如$\max_{x_1,\dots, x_k} \#\{y:\phi(x_1,\dots,x_k,y)\}$的$O(m^k)$时间问题类,其中$\phi$为无量词一阶性质,$m$表示关系结构的大小。假设关于超图团检测与MAX3SAT的中心假设,我们证明:对于任何由无量词$m$-边图公式$\phi$定义的MaxSP$_k$问题,在比穷举搜索更快的时间$O(m^{k-\delta})$内可能达到的最佳近似保证落入四类之一:* 在时间$O(m^{k-\delta})$内可优化至精确,* 一种(低效)近似方案,即在时间$O(m^{k-f(\epsilon)})$内的$(1+\epsilon)$-近似,* 在时间$O(m^{k-\delta})$内的(固定)常数因子近似,或 * 在时间$O(m^{k-f(\epsilon)})$内的$m^\epsilon$-近似。我们获得了这些 regime 的几乎完全刻画,针对MaxSP$_k$以及类比定义的极小化类MinSP$_k$。作为我们主要的技术贡献,我们在(Alman, Vassilevska Williams'20)提出的稀疏MAX3SAT假设下,排除了承认常数因子近似的一大类问题的近似方案。对于我们考虑的问题的总体趋势,我们发现:(1) 精确可优化性具有简单的代数刻画,(2) 仅有少数极大化问题不承认常数因子近似;这些甚至不具有次多项式因子近似,且 (3) 极小化问题的常数因子近似等价于判定最优值是否等于0。