样本最优的局部隐私假设选择及交互性的可证益处

我们研究了在局部差分隐私约束下的假设选择问题。给定一个包含 $k$ 个分布的类 $\mathcal{F}$ 和一组来自未知分布 $h$ 的独立同分布样本，假设选择的目标是选取一个分布 $\hat{f}$，使其与 $h$ 的总变差距离与 $\mathcal{F}$ 中最佳分布与 $h$ 的总变差距离相当（以高概率）。我们设计了一种 $\varepsilon$-局部差分隐私（$\varepsilon$-LDP）算法，该算法使用 $\Theta\left(\frac{k}{\alpha^2\min \{\varepsilon^2,1\}}\right)$ 个样本，以保证以高概率满足 $d_{TV}(h,\hat{f})\leq \alpha + 9 \min_{f\in \mathcal{F}}d_{TV}(h,f)$。对于 $\varepsilon<1$，该样本复杂度是最优的，与 Gopi 等人（2020）的下界相匹配。所有先前已知的解决该问题的算法都需要 $\Omega\left(\frac{k\log k}{\alpha^2\min \{ \varepsilon^2 ,1\} }\right)$ 个样本才能工作。此外，我们的结果证明了交互性在 $\varepsilon$-LDP 假设选择中的威力。即，它打破了非交互式假设选择样本复杂度已知的 $\Omega\left(\frac{k\log k}{\alpha^2\min \{ \varepsilon^2 ,1\} }\right)$ 下界。我们的算法仅使用 $\Theta(\log \log k)$ 轮交互便打破了这一障碍。为了证明我们的结果，我们为统计查询算法（Statistical Query Algorithm, SQA）定义了“关键查询”的概念，这可能具有独立的意义。非正式地说，如果一个 SQA 的成功仅依赖于其所提出的少量查询的准确性，则称该 SQA 使用了少量的关键查询。随后，我们设计了一种使用更少关键查询的 LDP 算法。