$s$-$t$ 路、迹与游程中的安全性

给定有向图 $G$ 与一对节点 $s$ 和 $t$，$G$ 的一条 \emph{$s$-$t$ 桥}是指这样一条边：移除它后会断开 $G$ 中所有的 $s$-$t$ 路（从而它出现在所有 $s$-$t$ 路中）。计算 $G$ 的所有 $s$-$t$ 桥是一个基本的图问题，可在线性时间内求解。本文中，我们考虑该问题的一种自然推广，引入了来自生物信息学的“安全性”概念。我们称一条游程 $W$ 关于一个 $s$-$t$ 游程集合 $\mathcal{W}$ 是 \emph{安全的}，如果 $W$ 是 $\mathcal{W}$ 中所有游程的子游程。我们首先考虑当 $\mathcal{W}$ 由以下组成时的最大安全游程：$G$ 的所有 $s$-$t$ 路、所有 $s$-$t$ 迹，或所有 $s$-$t$ 游程。我们表明前两个问题是指出所有 $s$-$t$ 桥的直接线性时间推广，而第三个问题则更为复杂。特别地，我们证明存在一种可在线性时间内计算的紧凑表示，它允许以与其长度成线性的时间输出所有最大安全游程。我们进一步推广这些问题，假设安全性仅相对于一个 \emph{可见} 边的子集来定义。在此我们证明了 $s$-$t$ 路和 $s$-$t$ 迹情形与 $s$-$t$ 游程情形之间的二分性：前两者是 NP-难的，而后者可在与所有边均可见时相同的复杂度下求解。我们还表明，对于 \emph{$s$-$t$ 割点}（出现在所有 $s$-$t$ 路中的节点）的类似推广，同样的复杂度结果成立。因此我们获得了这两个基本图问题的自然“安全性”推广的最佳可能结果。此外，我们的算法简单且不使用任何复杂数据结构，非常适合实际应用。