论 Kostka 锥的面与 Hilbert 基

Kostka 系数出现在一般线性群的表示论中，并枚举固定形状与内容的半标准 Young 表。 $r$-Kostka 锥是由至多 $r$ 个部分的划分对（写作非增 $r$-元组）生成的实多面锥，使得对应的 Kostka 系数非零。我们提供了若干结果，表明其面具有有趣的结构与计数性质。我们证明 $r$-Kostka 锥的 $d$-面可由 $(3d+3)$-Kostka 锥的 $d$-面确定，从而允许我们刻画其 $2$-面并枚举其 $d\le 4$ 的 $d$-面。我们给出了任意 $d$ 的 $d$-面数的紧渐近性，并确定了含于 $d$-面中的极值射线的最大数目（$d < r$）。随后，我们朝着推广 Gao-Kiers-Orelowitz-Yong 关于出现在 $\lambda_1$-Kostka 锥 Hilbert 基中划分 $(\lambda,\mu)$ 首项的宽度界取得进展。我们证明至少 $93.7\%$ 的整数对 $\lambda_1 \ge \mu_1 > 0$ 作为划分 $(\lambda,\mu)$ 的首项出现，构成对每个 $r > \lambda_1$ 的 $r$-Kostka 锥的 Hilbert 基元素。我们以关于一个奇特的 $h$-向量现象的猜想作结。