带梯度相关项和奇异权值的半线性椭圆方程：存在性、锐边界渐近与随机最优控制

我们发展了一个统一框架，用于求解严格凸域中具有梯度相关非线性和奇异权值的半线性椭圆方程。考虑大解 $$-\Delta u + b(x)\,h(|\nabla u|) + a(x)\,u = f(x) \quad \text{在 }\Omega\subset\mathbb{R}^N \text{中}$$ 其中 h 严格凸且满足 h(s)∼s^q 其中 q∈(1,2]，且 a(x),b(x) 在 ∂Ω 附近显示特定奇异行为，我们通过 Perron 方法建立存在性和唯一性，并推导锐边界 blow-up 渐近。特别地，我们获得 liminf--limsup 估计的最优值，用于速率 γ=(β-q+2)/(q-1)，扩展了最近用于梯度增长问题的分析技术。我们进一步通过微观凸性原理证明了解的严格凸性，突出了非线性梯度项与奇异权值之间相互作用所产生的几何效应。提供了一个验证定理，表明解与具有状态约束的无限时滞随机最优控制问题的价值函数一致。讨论了关于运营研究和管理科学的应用，包括库存控制、投资组合风险管理和供应链建模的案例研究，以及与边界层理论和扩散过程的联系。一维和二维的数值实验确认了预测的边界行为和几何结构。附录中包括 Python 实现。