超 Quot 概型中的 $S^1$-不动点以及来自扩展镜原理图的旗流形的精确镜像公式

在 [L-L-Y1, III: Sec. 5.4] 关于镜原理的工作中，发展了通过扩展镜原理图计算旗流形 $X=\Fl_{r_1, ..., r_I}({\Bbb C}^n)$ 上积分 $\int_{X}\tau^{\ast}e^{H\cdot t}\cap {\mathbf 1}_d$ 的方法。该方法将所需的在到 $\CP^1\times X$ 的稳定映射的增广模栈 $\bar{\cal M}_{0,0}(\CP^1\times X)$ 上的局部化计算转化为在超 Quot 概型 $\HQuot({\cal E}^n)$ 上的局部化计算。在本文中，完成了在 $\HQuot({\cal E}^n)$ 上该局部化计算的细节。计算中必需的要素，特别是 $\HQuot({\cal E}^n)$ 中的 $S^1$-不动点分支及其特殊的 $E_{(A;0)}$、$E_{(A;0)}$ 在 $\HQuot({\cal E}^n)$ 中的 $S^1$-等变 Euler 类，以及问题中涉及的上同调类从限制旗流形丛的全空间到其底流形的推出公式均被给出。由此，获得了 $\int_{X}\tau^{\ast}e^{H\cdot t}\cap {\mathbf 1}_d$ 的精确表达式。文末给出了关于 Hori-Vafa 猜想的评论。