单位根旋转与丢番图逼近

对于一个固定整数 $n$，我们研究如下问题：对于任意可能的 $X\in\mathbb{C}$，其中 $\omega$ 是一个 $n$ 次本原单位根，数 $\Re X\omega^k$（$1\leq k\leq n$）中是否至少有一个 $\varepsilon$-接近于一个整数。结果表明，总存在某个 $X$ 使得上述数聚集在 $1/2\bmod1$ 附近。与 $1/2$ 的距离仅依赖于 $n$ 的局部性质，而非其大小。这与最近解决的所谓“睡衣(pyjama)问题”直接相关。