复合数的互质网络：伪随机性与同步性

本文提出一种节点标记为复合数的网络，若两个节点互质则通过无向链路相连。随着网络规模的增加，当最大可能的节点索引 $n\geq 49$ 时，网络将连通。为考察节点的连接方式，我们分析说明，链路密度随网络规模增大而饱和至 $6/\pi^2$，平均度随网络规模线性增长，斜率为 $6/\pi^2$。为考察节点的邻居之间如何相互连接，我们发现最短路径长度在 $49\leq n\leq 288$ 时至多为 3，在 $n\geq 289$ 时至多为 2。我们还推导出节点局部聚类系数的解析表达式，量化了节点邻居形成三角形的程度。我们还提供了 $r$ 长度标记循环数的表达式，表明存在长度至少为 $O(\log n)$ 的循环。最后，我们证明该图序列实际上是一序列弱伪随机图。我们数值验证了所观察到的解析结果。作为可能的应用，我们观察到与 Erd\H{o}s-R\'{e}nyi 随机网络和 Barab\'{a}si-Albert 网络相比，本网络的同步性更差（拉普拉斯矩阵最大正特征值与最小正特征值的比值较高）。这一独特现象与生态网络和捕食者-猎物网络的延长暂态行为相符，这些网络容易避免全局同步。