几乎每个方程组解的鲁棒性

在数学建模中，常常会遇到方程 $F(p)=c$，其中 $F$ 的确切形式未知。本文表明，存在大量 $F$ 的类，其中几乎所有 $F$ 都具有相同的性质。我们所研究的类是满足如下条件的 $C^1$ 函数 $F:\mathbb{R}^N \to \mathbb{R}^M$ 的向量空间 $\mathcal{F}$：$\mathcal{F}$ 具有“几乎常秩”（ACR），若存在常数整数 $\rho(\mathcal{F}) \geq 0$，使得对“几乎每个” $F\in \mathcal{F}$ 和几乎每个 $p\in\mathbb{R}^N$ 都有 rank$(DF(p))=\rho(\mathcal{F})$。若向量空间 $\mathcal{F}$ 是有限维的，则“几乎每个”是关于 $\mathcal{F}$ 上 Lebesgue 测度的；否则，如本文所述，它是指普遍意义下的几乎每个。大多数常用于建模目的的函数空间都是 ACR 的。特别地，我们证明了若 $\mathcal{F}$ 中所有函数都是线性的、多项式的或实解析的，或者若 $\mathcal{F}$ 是“结构化系统”中所有函数的集合，则 $\mathcal{F}$ 是 ACR 的。对每个 $F$ 和 $p$，解集合为 $p \in \mathbb{R}^N$ 时的 SolSet$(p):= \{x: F(x)=F(p)\}$。若 $F(p)=c$ 的解集合在 $F$ 和 $c$ 的微小变化下依然保持，则称其为鲁棒的。对 ACR 向量空间 $\mathcal{F}$ 中几乎每个 $F$，证明了以下两个全局结果：(1) 要么解集合 SolSet$(p)$ 对几乎每个 $p\in \mathbb{R}^N$ 是鲁棒的，要么没有任何解集合是鲁棒的。(2) 解集合 SolSet$(p)$ 是维数为 $d = N-\rho(\mathcal{F})$ 的 $C^\infty$-流形。特别地，对几乎每个 $F \in \mathcal{F}$，$d$ 是相同的。