通过 ReLU 生成网络实现鲁棒单比特恢复：近最优统计速率与全局景观分析

我们研究鲁棒单比特压缩感知问题，其目标是设计一种算法，通过 $m$ 个量化含噪测量，以\textit{一致}方式忠实恢复任意稀疏目标向量 $\theta_0\in\mathbb{R}^d$。具体而言，我们为该问题考虑一个新框架：通过已知的 $n$ 层 ReLU 生成网络 $G:\mathbb{R}^k\rightarrow\mathbb{R}^d$ 映射低维表示 $x_0 \in \mathbb{R}^k$，使得 $\theta_0 = G(x_0)$，从而隐式强制稀疏性。该框架在无需已知稀疏基下对 $\theta_0$ 施加低维先验。我们提出通过求解无约束经验风险最小化（ERM）来恢复目标 $G(x_0)$。在弱\textit{亚指数测量假设}下，我们建立了统计与计算的联合分析。特别地，我们证明此新框架中的 ERM 估计量达到 $m=\widetilde{\mathcal{O}}(kn \log d /\varepsilon^2)$ 的统计速率，以误差 $\varepsilon$ 一致恢复任意 $G(x_0)$。当网络较浅（即 $n$ 较小）时，我们表明该速率与信息论下界在 $\varepsilon^{-1}$ 的对数因子内匹配。从计算视角，我们证明在网络权重适当条件下，所提经验风险虽非凸，但在真表示 $x_0$ 及其负倍数附近小邻域外无驻点；进一步，在网络权重附加假设下，我们表明经验风险的全局极小停留在 $x_0$ 而非其负倍数附近的邻域内。