重新审视由未知场联结的变质量孤立 n 粒子系统的拉格朗日理论

我们提出一种描述由单一未知形式场联结的 $n$ 个变质量相互作用粒子组成的系统（n-VMVF 系统）的新经典方法。我们不假设任何特定性质或解析函数来表示质量或场的变化，而是将它们作为依赖于粒子位置和速度的未知函数。本文给出了包含此类变化的拉格朗日理论，这些变化仅用第一性原理即可求出。将质量视为未知量使我们不得不修正达朗贝尔原理以确保符合相对性原理。此外，由于向系统添加了新变量，我们增加了一组新的、依赖于 $3$ 维角坐标的独立拉格朗日方程，以使方程组保持可解。当粒子位置表示为角坐标的函数时，四维时空自然出现在问题中。该变换将角坐标的 $3$ 维空间设定为时空中由洛伦兹条件定义的 $4$ 维球面的球极投影。我们通过强制系统满足线动量和角动量守恒定律，识别出两组约束，每组对应一种坐标系。约束函数对 $\ddot{x}$ 的依赖性使得有必要将经典理论推广至拉格朗日函数的二阶。所获得的约束通过拉格朗日乘子法加入初始拉格朗日量，并得到不止一个而是两个拉格朗日函数，以及相应的两组拉格朗日方程以求得最终解。