用于热方程伴随 Monte Carlo 模拟的可逆随机数生成
数值分析
2024-08-19 v3 数值分析
摘要
在 PDE 约束优化中，目标是在满足偏微分方程的约束下，寻找使某个目标函数最小化的设计参数。一个主要挑战是计算目标函数对设计参数的梯度，因为应用链式法则需要计算设计参数对 PDE 状态的 Jacobian 矩阵。伴随方法通过计算 Lagrange 量的偏导数避免了该 Jacobian 矩阵的计算。计算这些导数需要求解一个带有与约束对应的伴随微分算子的第二个 PDE，从而产生时间反向模拟。基于粒子的 Monte Carlo 求解器常用于计算高维 PDE 的解。然而，此类求解器的缺点是会给计算结果引入噪声，因此需要使用随机优化方法。为了保证在此设定下的收敛性，约束模拟和伴随 Monte Carlo 模拟应模拟相同的粒子轨迹。对于大规模模拟，由于内存限制，存储约束方程的完整路径以供伴随方程重用变得不可行。在本文中，我们为置换同余伪随机数生成器（PCG）族提供了一个可逆扩展。随后，我们使用此类生成器为热方程重新计算这些时间反向路径，从而避免了上述内存问题。
引用
@article{arxiv.2302.02778,
title = {Reversible random number generation for adjoint Monte Carlo simulation of the heat equation},
author = {Emil Løvbak and Frédéric Blondeel and Adam Lee and Lander Vanroye and Andreas Van Barel and Giovanni Samaey},
journal= {arXiv preprint arXiv:2302.02778},
year = {2024}
}
备注
17 pages, 5 figures, accepted for the proceedings of MCQMC22, minor rephrasing upon reviewer suggestion and corrections in acknowledgements