$\mathbb{R}$ 不可数性的逆数学

Cantor 在其第一篇集合论论文（1874）中确立了 $\mathbb{R}$ 的不可数性。我们在 Kohlenbach 的高阶逆数学中研究后者，其动机在于观察到不能在二阶逆数学中研究诸如“从 $\mathbb{R}$ 到 $\mathbb{N}$ 的任意映射”之类的概念。近来已证明如下陈述：$$\text{ NIN: 不存在从 $[0,1]$ 到 $\mathbb{N}$ 的注入，}$$ 就常规 comprehension 而言难以证明。在本文中，我们通过建立 NIN 与限制于主流函数类（如：有界变差、半连续与 Borel）的 NIN 之间的等价性，表明 NIN 是稳健的。因此，上述 NIN 的困难并非源于 NIN 中对任意 $\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{N}$ 函数的量化。最后，我们还研究了 NBI（NIN 对双射的限制）以及与 Cousin 引理和 Jordan 分解定理的联系。