基于 Schrodingerization 方法的 Fokker-Planck 方程量子模拟

本文研究了一种用于求解 Fokker-Planck 方程的量子模拟技术。传统的半离散方法往往无法保持底层的哈密顿动力学，甚至可能修改哈密顿结构，尤其是在包含边界条件时。我们通过采用 Schrodingerization 方法——将任何具有非厄米动力学的线性偏微分方程和常微分方程转化为 Schrodinger 类型方程组来解决这一挑战。我们探讨了两种不同形式的 Fokker-Planck 方程的应用。对于 conservation 形式，表明在处理非周期边界条件时，基于半离散的 Schrodingerization 方法更为可取。此外，我们分析了针对具有特征矩阵或微分算子特征值为正实部的不稳定系统的 Schrodingerization 方法。我们的分析表明，直接使用 Schrodingerization 的效果等同于稳定化程序。对于 heat 方程形式，我们提出了基于时间分裂技术的量子模拟程序。我们讨论了 Schrodingerization 方法中的算子分裂与直接应用于原始问题之间的关系，说明 Schrodingerization 方法在每个步骤中准确地再现时间分裂解。此外，我们探索了使用 shift 算子对 heat 方程形式进行有限差分离散化。利用 Fourier 基，使 shift 算子对角化，实现了在频率空间中的高效模拟。提供关于实现对角单位算子方面的额外指导，我们对比分析了 Bell 基和 Fourier 基中的对角化，表明前者通常更具效率。