可解 Mendelsohn 设计与有限 Frobenius 群

我们证明了对于任意整数 $v > k \ge 2$ 且 $v \equiv 1 \mod k$，若存在一个有限 Frobenius 群，其核 $K$ 的阶为 $v$ 且其补集包含一个阶为 $k$ 的元素 $\phi$，则存在一个 $(p(k)-1)$ 重完美可解 $(v, k, 1)$-Mendelsohn 设计并给出了其构造，其中 $p(k)$ 是 $k$ 的最小素因子。此类设计允许 $K \rtimes \langle \phi \rangle$ 作为自同构群，且当 $k$ 为素数时是完美的。作为应用，我们证明了对于任意素因数分解为 $v = p_{1}^{e_1} \ldots p_{t}^{e_t} \ge 3$ 的整数，以及任意整除 $p_{i}^{e_i} - 1$ ($1 \le i \le t$) 的素数 $k$，都存在一个允许 Frobenius 群作为自同构群的可解完美 $(v, k, 1)$-Mendelsohn 设计。我们还证明，如果 $k$ 为偶数且整除 $p_{i} - 1$ ($1 \le i \le t$)，则至少有 $\varphi(k)^t$ 个允许 Frobenius 群作为自同构群的可解 $(v, k, 1)$-Mendelsohn 设计，其中 $\varphi$ 是 Euler totient 函数。