代表集与无关顶点：核化的新工具

奇环横切问题是否存在多项式核曾是参数化复杂性中一个著名的开放问题。最近，本文作者（Kratsch和Wahlström, SODA 2012）利用拟阵理论将终端集合上的流问题编码为大小随终端数量多项式增长的实例，从而给出了该问题的一个随机化多项式核，解决了这一问题。在当前工作中，我们通过展示Lovász（Combinatorial Surveys 1977）和Marx（TCS 2009）关于代表集结果的应用，进一步确立了拟阵理论在核化中的有效性。我们展示了如何利用代表集为难以捉摸的Almost 2-SAT问题给出一个多项式核。我们进一步将代表集这一工具应用于图割问题中寻找无关顶点的问题，即那些可以在不影响问题状态的情况下被设为不可删除的顶点。这为Multiway Cut问题的多项式核取得了首个重要进展；特别地，对于具有至多s个终端的Multiway Cut实例，我们得到了一个具有O(k^{s+1})个顶点的核。这两个核化结果均具有显著的衍生效应，为一系列相关问题产生了首个多项式核。更一般地，无关顶点结果对图中的覆盖最小割具有启示意义。对于有向图G=(V,E)和集合S, T \subseteq V，设r为最小(S,T)-顶点割（可能与S和T相交）的大小。我们可以找到一个大小为O(|S|*|T|*r)的集合Z \subseteq V，它对于每个A \subseteq S和B \subseteq T都包含一个最小(A,B)-顶点割。类似地，对于无向图G=(V,E)、终端集合X \subseteq V和常数s，我们可以找到一个大小为O(|X|^{s+1})的集合Z \subseteq V，它对于将X划分为至多s个两两不相交子集的任意划分都包含一个最小多向割。