多项式系数的重复出现与 Singmaster 猜想的推广

给定两个整数 $k\geq 2$ 和 $a>1$，令 $N_k(a)$ 表示等于 $a$ 的具有 $k$ 项的多项式系数的个数。我们研究 $N_k(a)$ 的性质，并证明其平均阶与正规阶均等于 $k(k-1)$。我们还证明 $N_k(a)=O\left((\log a/\log\log a)^{k-1}\right)$，并就关于 $N_k(a)$ 大取值的极值结果提出若干命题。