利用四元数进行非共线三维速度的相对论合成

四元数与狭义相对论之间有着（逾一个世纪的）广泛且相当复杂的交织。由于四元数本质上是四维的，并且在处理三维旋转方面表现优异，人们一直希望四元数的使用能简化洛伦兹变换的部分代数。本文报道了关于非共线三维速度相对论合成的一个相对优美的结果。若采用由 $v={2w\over1+w^2}$ 定义相对论半速度 $w$，并利用 $\mathbf{w} = w \; \mathbf{\hat n}$ 将其提升为四元数，其中 $\mathbf{\hat n}$ 为单位四元数，则我们将证明 $$\mathbf{w}_{1\oplus2} = \mathbf{w}_1 \oplus \mathbf{w}_2 =(1-\mathbf{w}_1\mathbf{w}_2)^{-1} (\mathbf{w}_1 +\mathbf{w}_2) = (\mathbf{w}_1 +\mathbf{w}_2)(1-\mathbf{w}_2\mathbf{w}_1)^{-1}.$$ 非共线三维速度相对论合成中所有复杂的角依赖关系，现均编码于 $\mathbf{w}_1$ 与 $\mathbf{w}_2$ 的四元数乘法之中。该结果还可进一步推广，得到关联 Wigner 角的一个优雅紧凑公式： $$\mathrm{e}^{\mathbf{\Omega}} = \mathrm{e}^{\Omega \; \mathbf{\hat\Omega} } = (1-\mathbf{w}_1\mathbf{w}_2)^{-1} (1-\mathbf{w}_2\mathbf{w}_1),$$ 据此有 $${\mathbf{\hat{n}}}_{1\oplus2} = \mathrm{e}^{\mathbf{\Omega}/2} \;\; {\mathbf{w}_1+\mathbf{w}_2\over |\mathbf{w}_1+\mathbf{w}_2|}; \qquad\qquad {\mathbf{\hat{n}}}_{2\oplus1} = \mathrm{e}^{-\mathbf{\Omega}/2} \;\; {\mathbf{w}_1+\mathbf{w}_2\over |\mathbf{w}_1+\mathbf{w}_2|}.$$ 因此我们认为，许多最终源于非共线推进之非对易性的关键结果，都可轻易地用四元数代数重新表述。