球面第 24 同伦群中的关系

本文的主要目的是证明 Toda 括号 $<\bar{\nu},\sigma,\bar{\nu}>$ 和 $<\nu,\eta, \bar{\sigma}>$ 非平凡。这是对第二作者猜想（通过 Toda 括号确定 $P$-像，Geometry and Topology Monographs 13(2008), 355-383）的肯定回答。第二个目的是展示 $\pi^7_{31}$ 中的关系 $\bar{\nu}_7\omega_{15}=\nu_7\sigma_{10}\kappa_{17}$。