正则类型与非可积向量场组上的消失阶

本文由两部分组成。我们首先综述近期关于 Bloom 猜想的研究进展,该猜想在复维数至少为 4 的情形下仍未解决。Bloom 猜想关注三种正则类型的等价性。存在一个更一般的重要概念,称为奇异 D'Angelo 类型(或简称为 D'Angelo 类型)。虽然有限 D'Angelo 类型条件是研究 Kohn 的 $\overline{\partial}$-Neumann 问题局部次椭圆估计的恰当条件,但正则类型十分重要,因为其有限性给出了 Kohn 的 $\overline{\partial}$-Neumann 问题解到边界的全局正则性。在本文第二部分,我们给出关于光滑函数沿一组非可积向量场消失阶的一个看似初等但真正基本的性质(定理 2.2 或其 CR 版本定理 2.5)的证明。定理 2.5 的一个特例(推论 2.6)已出现在 D'Angelo 的一篇论文中。此部分的一个主要目标是为这些结果提供证明以供日后参考。我们的论证基于 Helffer-Nourrigat 关于一组非可积向量场的深刻规范化定理,以及 Boauendi-Rothschild 后来对其的推广。