函子的正则配对与弱(余)单子

对于任意范畴$\A$和$\B$之间的函子$L:\A\to \B$和$R:\B\to \A$，一个{\em 配对}由以下自然于$A\in \A$和$B\in \B$的映射定义：\xymatrix{\Mor_\B (L(A),B) \ar@<0.5ex>[r]^{\alpha} & \Mor_\A (A,R(B))\ar@<0.5ex>[l]^{\beta}}. 若$\alpha$（或$\beta$）是双射，则$(L,R)$是一个{\em 伴随对}。在这种情况下，复合$RL$定义了范畴$\A$上的一个单子，$LR$定义了范畴$\B$上的一个余单子，并且单子（或余单子）与函子的伴随对之间存在一个众所周知的对应关系。在各种应用中，人们观察到单子单位的条件过于严格，而放宽该条件仍然可以得到一个有用的广义单子概念。这导致了{\em 弱单子}和{\em 弱余单子}的引入，并且所需的定义是在不参考这种伴随的情况下做出的。本文的动机是证明这些概念可以自然地源于满足$\alpha = \alpha\circ \beta\circ \alpha$和$\beta = \beta \circ\alpha\circ\beta$的函子配对$(L,R,\alpha,\beta)$。紧密遵循已知的单子（和单位模）与余单子（和余单位余模）的构造，我们证明了$\A$上的任何弱（余）单子都会在$\A$与{\em 相容（余）模}的范畴之间产生一个正则配对。