基于个体稳定序列的回归估计

我们考虑基于个体（非随机）序列 $(x_1,y_1),(x_2,y_2), ... \in \real \times \real$ 的单变量回归估计，该序列的稳定性定义为：对于每个区间 $A \subseteq \real$，(i) $x_1, x_2, ...$ 下 $A$ 的极限相对频率由未知的概率分布 $\mu$ 控制，(ii) 满足 $x_i \in A$ 的那些 $y_i$ 的极限平均值由未知的回归函数 $m(\cdot)$ 控制。我们展示了一种计算简单的 $m(\cdot)$ 估计方案，并证明对于满足 $\{y_i\}$ 有界且 $m(\cdot)$ 在形如 $(-i,i]$ ($i \geq 1$) 的区间上的变差存在已知上界的稳定序列 $\{(x_i,y_i)\}$，该方案是 $L_2$ 一致的。作为对此正面结果的补充，我们证明了对于回归函数具有有限变差的稳定序列族，不存在一致的估计方案，即使限制 $x_i \in [0,1]$ 且 $y_i$ 为二值变量也是如此。