大型平面地图中船体体积与周长的精细通用定律

我们考虑具有两个相距 k 的标记顶点的平面地图集合，并考察分离这些顶点且距第一个顶点距离为 d（d<k）的闭合线。该线将地图分为两部分：距离为 d 的船体，对应于与第一个顶点同侧的地图部分，及其补集。船体内部的面数称为船体体积，分离线的长度称为船体周长。我们研究了在无限大平面四边形化、三角剖分和欧拉三角剖分极限下，任意 d 和 k 的船体体积和周长的统计。我们更精确地考虑 d 和 k 均变大且比值 d/k 保持有限的情形。对于无限大地图，可能遇到两种态：要么船体具有有限体积而其补集无限大，要么船体本身具有无限体积而其补集为有限大小。我们计算了地图处于任一态的概率作为 d/k 的函数，以及当地图被条件设定为处于某一态时船体周长和体积的若干通用统计定律。