在连续统算符完备性关系下重新推导 Casimir 力

Casimir 效应表明，两块紧密平行的平板由于电磁场的量子真空涨落通常会产生宏观吸引力。该力的推导需要通过移除发散求和来引入一个人工调节器。基于对如下观察：可观测量的不完备特征向量（例如自由场中光子的本征态）可以通过引入唯一的谱变换来形成完备的特征向量集，我们在自然地包含一个谱密度因子后，提出了一种无需使用调节器即可重新推导该力的替代方法。结果得到的 Casimir 力第一项为 $-\pi^2 \hbar c/(240 a^4)$，表现为吸引力；第二项为 $-\pi^4 \hbar c^3 \sigma^2/(1008 a^6)$，同样为吸引力但数值较小，其中 $a$ 为板间距，$\sigma$ 为谱密度因子中一个待确定的小常数。