独立集的可恢复值

Feige、Immorlica、Mirrokni和Nazerzadeh [Approx 2009] 的工作中提倡将“可恢复值”的概念作为衡量近似算法质量的一种指标。在该工作中，此概念被应用于设施选址问题。在当前工作中，我们将类似的框架应用于最大独立集问题（MIS）。我们称一个近似算法具有可恢复值$\rho$，如果对于每个图，它都能找到一个大小至少为$\max_I \sum_{v\in I} \min[1,\rho/(d(v) + 1)]$的独立集，其中$d(v)$是顶点$v$的度，$I$遍历$G$中的所有独立集。因此，在某种意义上，对于最大独立集中的每个顶点$v$，算法至少能为解恢复$\rho/(d_v + 1)$的值。这种质量度量在最大独立集由低度顶点组成的图中最为有效。从已知结果可以容易得出，一些针对MIS的简单算法能保证$\rho \ge 1$。我们设计了一种新的针对MIS的随机算法，能保证期望可恢复值至少为$\rho \ge 7/3$。此外，我们证明了在具有给定$k$-着色的图中，以大于$2/k$的比率近似MIS是唯一博弈困难的。这排除了获得$\rho \ge 2$的一种自然方法。