一般图的有理指数

有理数 $r$ 是图 $H$ 的\textbf{可实现指数}，如果存在一个有限的图族 $\mathcal{F}$，使得 $\mathrm{ex}(n,H,\mathcal{F})=\Theta(n^r)$，其中 $\mathrm{ex}(n,H,\mathcal{F})$ 表示一个 $n$ 顶点 $\mathcal{F}$-自由图所能包含的 $H$ 副本的最大数量。目前，关于可实现指数的结果仅在 $H$ 是星图或团图时已知，其中 $H=K_2$ 情形的完整解决是 Bukh 和 Conlon 的一个重要突破。在本文中，我们建立了首个对任意图 $H$ 都成立的可实现指数结果集，证明了对于任何最大度 $\Delta \ge 1$ 的图 $H$，区间 $\left[v(H)-\frac{e(H)}{2\Delta^2},\ v(H)\right]$ 内的每个有理数对于 $H$ 都是可实现的。我们还证明了关于树的一般化 Turán 数的一个“稳定性”结果，该结果意味着如果 $T\ne K_2$ 是一棵有 $\ell$ 片叶子的树，那么 $T$ 在 $[0,\ell]\setminus \mathbb{Z}$ 中没有可实现指数。后一个结果的证明使用了经典 Helly 定理的一个适用于树的新变体，这可能具有独立的意义。