随机化与 Gross-Pitaevskii 层级

我们研究了空间域 $\mathbb{T}^3$ 上的 Gross-Pitaevskii 层级。通过对碰撞算子中的 Fourier 系数进行适当的随机化，我们证明了一种主要用于压缩层级研究中出现的 Duhamel 项的主要估计的平均形式。在该平均估计中，我们无需对时间变量进行积分。随后，作为直接推论，得到了该正则性指数范围的平均时空估计。我们获得的正则性指数范围是 $\alpha>\frac{3}{4}$。我们在之前与 Gressman 的合作工作中表明，范围 $\alpha>1$ 在相应的确定性时空估计中是尖锐的。这与 Klainerman 和 Machedon 研究的非周期情形形成对比，在那种情形下，已知当时空估计在 $\alpha \geq 1$ 时成立。我们论文的目标是在\emph{概率意义}上扩展此类估计中 $\alpha$ 的范围。我们利用这一新估计及其证明中的思想来研究 Gross-Pitaevskii 层级的随机化形式。更确切地说，我们考虑类似于 Gross-Pitaevskii 层级的层级，但其中的碰撞算子已被随机化。对于这些层级，我们证明了固定确定性密度矩阵的 Duhamel 展开在低正则性 Sobolev 空间中收敛于零。我们相信，对随机化碰撞算子的研究可能是理解非线性随机化形式的第一步。